Ley de Snell, formalización de Descartes y Principio de Fermat

Desde la Antigüedad se conoce el fenómeno de la refracción de la luz. Pitágoras llegó incluso a formalizar sus observaciones. En tiempos más cercanos, el holandés Willebrord Snell (1591-1626) hizo algunos experimentos que lo llevaron a descubrir la ley que rige el cambio de dirección de los rayos que pasan de un medio a otro. Según parece, Renatus Descartes (1596-1650) conocía los manuscritos de Snell y su tarea se limitó a darles forma matemática. Pero, si bien él sugirió que la luz es una onda elástica que se desplaza por el éter, respecto de la refracción sus argumentos fueron puramente geométricos. Fue Pierre de Fermat (1601-1665) quien introdujo la física al enunciar el Principio del Tiempo Mínimo, el cual unifica el estudio de la refracción y la reflexión dando una explicación más profunda.

Snell	Descartes	Fermat

Cuando las propiedades del medio en el que se desplaza un rayo de luz cambian, se produce también un cambio en su dirección. En la figura 1 se ha representado un rayo que se quiebra al producirse un cambio brusco en las propiedades del medio.

Figura 1

Con la línea normal a la superficie que separa los medios de propiedades distintas, el rayo forma primero un ángulo y luego un ángulo . También se han representado dos circunferencias con centro en el punto en el cual se produce el cambio de dirección. Los segmentos destacados con líneas gruesas (, , y ) podrían ser llamados desplazamientos del rayo con respecto a la normal. La ley experimental de Snell dice que:

Independientemente de cuál sea el radio de la circunferencia considerada, para un rayo de luz dado, la razón de los desplazamientos en uno y otro medio es la misma y depende sólo de la naturaleza de los medios elegidos y del orden en que se los haya dispuesto.

Matemáticamente,

.

De todas las circunferencias que se pueden considerar es particularmente importante la de radio 1, pues para ella la medida de un desplazamiento cualquiera es igual al seno del ángulo que el rayo forma con la normal (figura 2).

Figura 2

La ley de Snell, se puede escribir entonces así:

,

donde es el índice refracción del medio 1 relativo al del medio 2. Esta ecuación es la formalización de Descartes de la ley de la refracción.

Para completar el desarrollo, faltaría hacer una observación: cuando el rayo se desplaza en sentido contrario, los ángulos intercambian sus roles, como se puede ver en la figura 3.

Figura 3

Esta simetría de los rayos que se mueven en sentido contrario se puede expresar matemáticamente como sigue.

De esto se concluye que

.

Por lo tanto, sería preferible escribir

,

donde es el índice absoluto de refracción del medio i. 

Procediendo de este modo, se puede:
(1) Establecer una escala para medir la propiedad óptica refringencia si se asigna un número a la de un medio cualquiera. (El convenio es asignar el índice 1 a la refringencia del vacío).

(2) Escribir la ecuación de Descartes de un modo similar al de las proporciones inversas.

A mayor índice de refracción, menor ángulo forma el rayo con la normal.

En las figuras anteriores, el medio gris es el de mayor refringencia (es decir, el medio ópticamente más denso). Esta conclusión vale porque los ángulos están comprendidos entre 0 y 90°, rango en el cual la función seno es estrictamente creciente.

En 1658 Fermat fue más allá de la descripción del fenómeno y dio una explicación de la ley de la refracción, es decir, la dedujo de otra más básica que no puede ser demostrada y a la cual por eso la llamamos "principio":

La trayectoria de un rayo de luz que va de un punto a otro es la correspondiente al tiempo mínimo.

Entonces, para un rayo que va desde A hasta B (figura 4) la magnitud que adopta el valor mínimo es el tiempo que éste tarda en ir de uno a otro, es decir,

.

Figura 4

No se debe perder de vista que el Principio del Tiempo Mínimo de Fermat se refiere a dos puntos (A y B). El punto O se encuentra por ahora en una posición desconocida. El problema del cálculo del mínimo con las condiciones que el problema impone corresponde al Cálculo Variacional. La variación en la magnitud que se está minimizando, el tiempo, se debe a la variación de la posición del punto O, que altera las amplitudes de los ángulos y (Sears 1949).

Para el tiempo mínimo, 

.

Por otra parte,

.

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores, se obtiene la forma de Fermat de la ley de la refracción:

.

Esta expresión tiene la ventaja de ser una proporción directa.

A mayor velocidad de propagación, mayor ángulo forma el rayo con la normal.

Para que las formas de Descartes y de Fermat de la ley de la refracción sean consistentes, se debe definir el índice de refracción del siguiente modo:

.

Así, el índice de refracción resultará ser un número adimensional. Si bien cualquier velocidad podría ser tomada como referencia, tratándose de rayos de luz, parece razonable elegir para tal fin a un valor extremo no muy lejano a las velocidades de propagacioón de éstos. Tal es el caso de la velocidad de propagación de la luz en el vacío.

Resumen

ley experimental de Snell
formalización de Descartes
fórmula obtenida a partir del Principio del Tiempo Mínimo de Fermat

REFERENCIA

• Sears, F. W. 1949 Optics, 3rd edn
  Massachusetts: Addison-Wesley