Los sistemas de numeración

Los métodos para contar las cosas han sido desde siempre algo muy importante para el hombre. No sólo porque en la vida diaria —cualquiera sea la actividad que desarrollemos— el saber contar es una valiosa herramienta, sino porque nuestra concepción de las cantidades depende de cómo contamos. Por más que nos resulte práctico contar mecánicamente, siguiendo un procedimiento que nos enseñaron cuando éramos niños, no deberíamos perder de vista que en esa manera de contar hay algo de arbitrario, que no hay una manera única de contar.

Por ejemplo, nuestra costumbre de agrupar los objetos en conjuntos de diez, no es más que eso: una costumbre. Su origen es obvio: tenemos diez dedos. Todavía hoy los niños aprenden a contar con los dedos. Y aprenden rápidamente. La elección del número diez como base para contar las cosas ha sido, desde este punto de vista, un éxito. Sin embargo, ¿qué tiene de particular el 10? ¿No podríamos nosotros acaso tener cuatro o seis dedos, como algunos animales? ¿Si los seres que dominan la Tierra descendieran de los reptiles por otra línea (no por la de los piteci), contarían de otra manera?

En el siglo XVIII, el naturalista francés Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788), propuso la adopción del sistema dodecimal (de base doce). (Nuestra costumbre de hoy de contar las mercaderías por docenas tiene su origen en esa sugerencia de Buffon.) La razón es fácil de comprender: el número 10 es un número muy grande para la cantidad de divisores enteros que tiene. Descartando los obvios 1 y 10, sólo se lo puede dividir con resto cero por 2 y por 5. En cambio el doce, apenas mayor, tiene el doble de divisores. Descartados el 1 y el propio 12, quedan el 2, el 3, el 4 y el 6. La ventaja más importante que ofrece el sistema de base doce se puede explicar fácilmente por medio del siguiente ejemplo: en una regla, entre dos líneas consecutivas (una unidad), se hace una marca (para obtener dos medios), cuatro marcas (para obtener cinco quintos) o nueve marcas (para obtener diez décimos) porque todas esas fracciones se expresan con una cifra "decimal". Otras fracciones, en cambio, se escriben de manera más compleja: los cuartos con dos decimales (0,25); los tercios y los sextos con infinitos decimales (0,333… y 0,166…).

En el sistema propuesto por Buffon los tercios, los cuartos, los sextos y las doce avas partes de la unidad se escribirían con una sola cifra "dodecimal". Tratemos de deducir cómo funcionaría.

Para crear un sistema de numeración comparable al nuestro se deben definir tres cosas:
(1) la cantidad de símbolos a emplear (incluyendo el cero);
(2) la manera en que los símbolos se deben ordenar; y
(3) la cantidad de objetos que definen el orden de cantidad siguiente.
Un sistema de este tipo se llama simbólico-posicional. La Historia ha demostrado que éstos son los sistemas con más ventajas. Los sistemas no-simbólicos de algunos pueblos primitivos son de escritura complicada, ya que se deben dibujar los objetos —por ejemplo, como pequeños círculos (representaciones de cuentas)—. Los no-posicionales —como los números romanos— tienen la ventaja de no requerir el cero, pero como contrapartida obligan a usar innumerables símbolos o innumerables veces unos pocos símbolos.

Analicemos primero el sistema en uso hoy en día, el sistema decimal.
(1) Cantidad de símbolos: diez (incluyendo el cero). Este conjunto de símbolos se conoce como notación arábiga.

(2) Los símbolos se escriben en línea horizontal, sin dejar espacios; los que representan grupos más grandes a la izquierda.

(3) Cuando se agota la cantidad de símbolos en una posición se agrega una unidad a la siguiente. (Dada la cantidad de símbolos, ésta es otra manera de decir que la base es diez.) Sin embargo, la coincidencia de la cantidad de símbolos con la base no es obligatoria. Un ejemplo de sistema donde tal coincidencia no se observa es el desarrollado por los mayas, que consta de tres símbolos —para el cero, el uno y el cinco (¿por los dedos de una mano?) y cuya base es veinte (número de días de cada uno de los dieciocho meses de su calendario).

Cada posición (de derecha a izquierda) corresponde a una potencia entera de 10 mayor, partiendo del exponente 0.

De ahí que, en el sistema decimal, digamos que dos números n₁ y n₂ están en el mismo orden (de tamaño o magnitud) cuando el mayor es menos de diez veces más grande que el menor.

A diferencia del sistema decimal, un sistema como el sugerido por Buffon tendría doce símbolos y base doce. Mantengamos los símbolos de la notación arábiga tradicional y agreguemos dos más para el 10 y el 11.

Siendo el "9" un símbolo simétrico (respecto del centro) del "6", parece razonable que el símbolo para el 10 sea simétrico del "7" y que el símbolo para el 11 sea el simétrico del "8". Sin embargo, dada la forma del "8", esto último no es posible. Por eso se ha recurrido al "5". A esta notación se la podría llamar arábiga+.

Es fácil comprobar que, haciendo uso de ella, el número decimal 6208 se debería escribir (en el sistema dodecimal) como se indica a continuación. 

Las potencias son ahora potencias crecientes de doce

Como se puede observar, la primera cifra —comenzando desde la derecha— corresponde a las unidades, la segunda a las docenas, la tercera a las gruesas (docenas de docenas) y la cuarta a las docenas de gruesas.

En el sistema dodecimal, dos números n₁ y n₂ están en el mismo orden cuando se cumple la relación:

En el esquema snterior se observa que el uso de símbolos comunes a sistemas distintos puede dar lugar a confusiones. Sobre todo cuando la escritura de los números dodecimales no exige usar los simétricos de "5" y "7". Por ello, cuando no resulta claro por el contexto, se acostumbra a indicar la base en que un número se ha escrito. (El convenio aceptado es escribir la base en el sistema decimal.)

Es interesante observar que en los sistemas con símbolos comunes, como el dodecimal y el binario (de base dos), que por su economía de símbolos fascinaba a Leibnitz, el "10" siempre representa a la base.

(De acuerdo a esto, la primera expresión dada para definir la igualdad de órdenes de magnitud es válida para todo sistema, si se interpreta al "10" en la base correspondiente.) 

Ésta es la causa por la cual resulta tan fácil extender el algoritmo de la división —concebido originalmente para el sistema decimal— al sistema dodecimal. Dividiendo por "10" (doce) varias veces se obtiene un cociente final y una serie de restos que se corresponden con el dividendo.

Pero volvamos al argumento de Buffon. ¿Cómo se escribiría en el sistema dodecimal la menor fracción que se puede expresar con una cifra después de la coma, es decir con un dodecimal? (Nótese que uso la palabra "cifra" y no "dígito" porque esta última está relacionada con "dedo" y sólo la podría usar con propiedad en este caso quien tuviera doce dedos.) La menor fracción es:

En el sistema de Buffon, toda fracción de la doce ava parte de la unidad que tenga un múltiplo igual a la unidad se escribirá con una sola cifra después de la coma.

Las dos últimas rayas corresponden a los nuevos símbolos.

El esquema anterior muestra con sencillez el argumento de Buffon.

A quienes hayan disfrutado leyendo las notas anteriores —como yo lo he hecho al escribirlas— les propongo los siguientes ejercicios, que servirán para determinar si el tema ha sido comprendido.

Ejercicio 1

En el cuadro se presentan los primeros números de un sistema desconocido y su equivalencia con los del sistema decimal en notación arábiga.

El lector debería ser capaz de responder las siguientes preguntas:

	¿Cuántos símbolos se emplean? Respuesta
	¿Cómo se ordenan esos símbolos? Respuesta
	¿Cuál es la base del sistema? Respuesta
	¿Coincide la base con la cantidad de símbolos? ¿Cuáles son las consecuencias de ello?
	Respuesta
	¿Cómo se escribirían los números ternarios de la tabla usando números arábigos? Respuesta

En la sección Juegos y Entretenimiento, el Grupo de Actividades Recreativas ha incluido algunos ejercicios visuales relacionados con los sistemas de numeración inspirados en el sistema maya. Una serie está dedicada al sistema tratado en este ejercicio.

Ejercicio 2

Resolver los rompecabezas creados por el Grupo de Actividades Recreativas que contienen números ternarios. El juego consiste en ordenar los números de menor a mayor, es decir, reubicarlos en la posición que adoptan al comienzo.

Ejercicio 3

En el texto se explicó cómo transformar un número dodecimal en decimal. Proponer un procedimiento para hacer la tranformación de un número decimal en dodecimal. Solución

Ejercicio 4

Al comienzo del artículo se señaló que nuestra concepción de las cantidades está condicionada por la manera en que contamos. ¿Qué relación tiene esto con la definición de orden de magnitud? Respuesta

Ejercicio 5

Se sabe que los babilonios usaban un sistema de sexagesimal (de base sesenta).
(1) ¿Cuántos divisores enteros tiene el número 60? Respuesta
(2) Idear un sistema con esa base que haga uso de cuatro símbolos. Solución
(3) Mencionar las ventajas y desventajas de este sistema respecto del decimal y del dodecimal. Respuesta
(4) Mencionar ventajas y desventajas respecto del decimal y del dodecimal.de cada uno de los siguientes sistemas:
• binario (de base dos);
• ternario (de base tres);
• cuaternario (de base cuatro);
• de base cinco;
• de base seis;
• de base siete;
• octal (de base ocho);
• de base nueve;
• de Lagrange (de base once);
• de base catorce;
• de base quince;
• octadecimal (de base dieciocho);
• vigesimal (de base veinte);
• de base veinticuatro;
• trigesimal (de base treinta);
• de base treintiséis;
• de base cuarenta; y
• de base ciento veinte.
Solución

Ejercicio 6

Escribir un número en la forma científica en el sistema dodecimal (haciendo uso de la notación arábiga+) y convertirlo en decimal. Solución

PROGRAMAS

Aprovechando las ventajas de la programación por reglas de reemplazo que ofrece Mathematica^®, he escrito dos pequeños programas: uno para transformar un número decimal en dodecimal y otro para transformar en decimal un número dodecimal. 

Antes de ejecutarlos, usted deberá instalar la fuente Arabic+:

Arabic+_courier.ttf

[Courier es la familia de la tipografía que por defecto usa Mathematica. Para quienes deseen disponer de las versiones Arial y Times de esta fuente, adjunto los archivos correspondientes:

Arabic+_arial.ttf

Arabic+_times.ttf

Los símbolos décimo y undécimo de la notación arábiga+ se obtienen en el teclado como habitualmente los símbolos "&" y "%" ("Mayúsculas" + "7" y "Mayúsculas" + "5").]

Los archivos de los programas son notebooks de Mathematica4:

base10abase12.nb

base12abase10.nb

Para ejecutar el primero se debe reemplazar el número 6802 ("ndec") del ejemplo por el número cuya expresión dodecimal se desee hallar. Para ejecutar el segundo se debe reemplazar el número ("ndodec") del ejemplo por el número cuya expresión decimal se desee hallar. Luego bastará con presionar simultáneamente las teclas "Mayúsculas" e "Intro", estando el cursor en la celda.

BIBLIOGRAFÍA

Pienso que algunos lectores van a estar interesados en buscar trabajos relacionados con el tema tratado aquí. A este respecto, lamento no poder ayudarlos: el artículo ha sido elaborado a partir de ideas propias y recuerdos vagos que venían a mi memoria a medida que escribía. Me comprometo a incorporar una lista de material de lectura cuando otras actividades me lo permitan.