Academia de Ciencias Luventicus

Números, grupos ordenados y tablas

Dr. J. J. Luetich
27 de febrero de 2003

Ejemplos y definiciones

En las Matemáticas, los números son lo más importante. Pero, a la par o inmediatamente después, se hallan las estructuras que éstos conforman. En el presente trabajo se describen esas estructuras y se explica cuál es su importancia.

Piénsese en las respuestas a las siguientes preguntas:

(1) ¿Cuántos alumnos hay en el primer año del Polimodal de la EEM Nº 221?
(2) ¿Cuántos alumnos y cuántas alumnas hay en el primer año del Polimodal de la EEM Nº 221?
(3) ¿Cuántos alumnos y cuántas alumnas eligieron cada modalidad (Ciencias Naturales y Administración) al ingresar al Polimodal de la EEM Nº 221?

Las respuestas han sido escritas en notación matemática. La primera es un número; la segunda, un grupo ordenado; la tercera, una tabla o matriz. Se trata de estructuras distintas. Lo que las distingue es la dimensión: un número es una cantidad aislada (su dimensión es 0); un grupo ordenado es un conjunto de números que se extienden en una línea (su dimensión es 1); una matriz es un cuadro de números que se extienden en dos direcciones, llamadas respectivamente filas y columnas (su dimensión es 2).

estructura

símbolo

dimensión

número

0

grupo ordenado

1

matriz

2

La dimensión no debe ser confundida con el orden. Se llama orden de un grupo a la cantidad de componentes que tiene (el grupo del segundo ejemplo es de orden 2: se trata de un par ordenado); se llama orden de una matriz al producto indicado del número de filas por el número de columnas que la conforman (el orden de la matriz del ejemplo 3 es 2 x 2).

El hecho de que se pueda asignar una dimensión a cada una de estas estructuras —de la cual se deriva el símbolo empleado para representarlas— nos muestra que se trata de formas distintas de un mismo ente. En efecto, un número puede ser visto como un grupo de una sola componente; un grupo ordenado, como una matriz de una sola componente (grupal); y un número, como una matriz de una componente (grupal) de una componente (numérica).

En símbolos, la relación entre números, grupos ordenados y matrices puede expresarse así:

;

.

Nota: La última notación para las matrices se usa para reducir la cantidad de paréntesis.

Los números que acompañan a las componentes de grupos ordenados y matrices se representan con letras de la parte media del abecedario (i, j, k, …), como se hace habitualmente con los números enteros.

estructura

componentes

En el ejemplo dado al comienzo se cumplía lo siguiente:

;

.

La suma de los elementos de una matriz que están en una misma fila o columna siempre tiene sentido. En el caso mencionado, sumando los elementos que están en cada fila, se obtiene la cantidad de alumnos y de alumnas; sumando los elementos que están en cada columna, se obtiene la cantidad de alumnos de Ciencias Naturales y de Administración.

 

Relaciones, transformaciones y operaciones

Lo interesante de las definiciones anteriores es que las relaciones, transformaciones y operaciones que se pueden establecer entre los entes mencionados constituyen el objeto de estudio del Álgebra y el Cálculo.

Relaciones:

son leyes que establecen una vinculación entre los elementos de dos conjuntos de entes. (El primer conjunto se llama dominio; el segundo, recorrido.)

Transformaciones:

son leyes que, aplicadas a cada uno de los elementos de un conjunto de entes, los transforman en otros (del mismo o de otro conjunto).

Operaciones:

son leyes que, aplicadas a dos o más elementos pertenecientes a uno o más conjuntos, dan por resultado otro (en general, de otro conjunto).

Algunos ejemplos servirán para aclarar estas definiciones.

Ejemplo de relación: función de una variable

A cada número del primer conjunto (n, m, p)
le corresponde uno en el segundo conjunto (a, b)

Ejemplo de transformación: rotación+traslación de una figura plana

A cada grupo ordenado (par ordenado, en este caso) del primer conjunto (figura original) 
le corresponde uno en el segundo conjunto (figura en la posición final)

Ejemplo de operación: multiplicación de una matriz por un número

A cada par {número, matriz} (elementos de dos conjuntos) 
le corresponde otra matriz (elemento del segundo conjunto)

 

Ejercicios resueltos

En este artículo, la atención se pone en la naturaleza de los entes (números, grupos ordenados y matrices) más que en lo que se hace con ellos (relaciones, transformaciones u operaciones). Sin embargo es al plantear problemas que en su resolución requieren hacer algo con los entes cuando resulta importante reconocer la naturaleza de ellos. Por eso a continuación se plantean y resuelven varios problemas que involucran entes de naturaleza distinta sobre los que se hacen acciones diversas.

¿Cuál es la naturaleza de los entes involucrados y de las acciones que se hacen con ellos?
(1) Se construye un diagrama para presentar la cantidad de alumnos que obtuvieron cada una de las posibles calificaciones en cierta materia (típico diagrama de distribución de frecuencias).
Entes
•  nota: número
•  cantidad de alumnos: número
Acción
•  creación de un gráfico: relación

Se trata de establecer una relación entre los elementos (números) de dos conjuntos.
(2) Se construye un gráfico de tres dimensiones que muestra cuántos alumnos de Ciencias Naturales y cuántos de Administración han obtenido cada una de las posibles calificaciones en la materia Matemática.
Entes
•  nota: número
•  : grupo ordenado
Acción
•  creación de un gráfico: relación

Se trata de establecer una relación entre números (elementos de un conjunto) y grupos ordenados (elementos de otro conjunto).
(3) Se calcula el promedio de las notas de Matemática en Segundo Año del Polimodal, el cual tiene dos divisiones: una de Ciencias Naturales y una de Administración.
Entes
•  : matriz
•  promedio: número
Acción
•  suma de componentes y división por el orden: operación

Se trata de realizar una operación con las componentes y el orden de una matriz.
(4) Se confecciona una lista que indica cuántos alumnos de Ciencias Naturales y Administración han obtenido cada promedio, discriminando varones y mujeres.
Entes
•  promedio: número
•  : matriz
Acción
•  listar cantidad de alumnos: relación

Se trata de establecer una relación entre los elementos de un conjunto (números) y los de otro conjunto (matrices).
(5) Se confecciona una lista que indica cuántos alumnos de Ciencias Naturales y Administración han obtenido cada promedio teniendo cierta nota en Ciencias Naturales, discriminando varones y mujeres.
Entes
•  : grupo ordenado
•  : matriz
Acción
•  listar cantidad de alumnos: relación

Se trata de establecer una relación entre los elementos de un conjunto (grupos ordenados) y los de otro conjunto (matrices).
(6) Para determinar el coeficiente de correlación entre algunas variables, se confecciona una lista que indica cuántos alumnos y docentes de los niveles secundario y terciario tienen distintos centros educativos han obtenido cada promedio teniendo cierta nota en Ciencias Naturales, discriminando varones y mujeres.
Entes
•  : matriz
•  : matriz
Acción
•  listar cantidad de alumnos: relación

Se trata de establecer una relación entre los elementos de un conjunto (matrices) y los de otro conjunto (grupos ordenados).
(7) Se convierte una lista que indica cuántos varones y cuántas mujeres tiene una escuela en Ciencias Naturales y en Administración, en otra que indica cuántos varones y cuántas mujeres no se llevaron materias.
Entes
•  : matriz
•  : matriz
Acción
•  convertir una lista en otra: transformación

Se trata de transformar una lista (matriz) en otra (matriz).

 

La notación de Mathematica®

En el lenguaje Mathematica®, la notación para las matrices puede tener dos formatos:

Una matriz de un elemento (grupal) funciona como un vector (columna).

Una matriz de un elemento (numérico) funciona como un número.

 

Una nota sobre el libro Calculus, de Tom Apostol [*]

En el libro Calculus, texto clásico de Análisis Matemático, se hace una clasificación de las que aquí fueron llamadas "relaciones" según la naturaleza del dominio y el recorrido. Para quien quiera compararla con la presentada aquí, se hacen las siguientes aclaraciones:

(1) Esa clasificación involucra números y grupos ordenados exclusivamente, no matrices. Los números son, como aquí, grupos de orden 1.
(2) La clasificación de Apostol no hace referencia explícita a operaciones.
(3) Las transformaciones son allí un tipo de relaciones, es decir, relaciones de un conjunto con él mismo.

De esto se deduce que la clasificación introducida en este trabajo tiene las siguientes ventajas:

(1) Introduce las definiciones de ente y acción, y las fundamenta.
(2) Hace una distinción taxativa entre los entes matemáticos: números, vectores y matrices.
(3) Hace una distinción taxativa entre las acciones que pueden llevarse a cabo con ellos: relaciones, transformaciones y operaciones.
(4) Es completa, en el sentido de que abarca todos los entes y acciones posibles.

Haciendo uso de los términos definidos más arriba, una acción se aplica a un ente para obtener otro ente. (Los entes pueden ser grupos ordenados de entes.)

El sentido que debe darse a los símbolos se muestra en la tabla.

número

grupo ordenado

matriz

relación

transformación

operación

Unos pocos ejemplos servirán para ilustrar este punto:

(1) Cuando se calcula la integral de una función real de una variable real a lo largo de un intervalo (integral definida), se está asignando un número a un grupo ordenado (x, f(x)). 
Se trata entonces de una operación por la cual se obtiene un número a partir de un grupo ordenado:
(2) Una función real de varias variables reales asigna un número n a un grupo ordenado (x, y, z).
Se trata entonces de una relación que asigna a un grupo ordenado un número:
(3) La multiplicación de un grupo ordenado por un número:
,
es una transformación ("homotecia") que produce un cambio de escala en figuras geométricas.
(4) El cálculo del determinante de una matriz:
,
es una operación por la cual se obtiene un número a partir de una matriz.

 

Ejercicio propuesto

Dar otros ejemplos de acciones realizadas sobre entes, identificando la nturaleza de unos y otros.

 

Conclusión

En este artículo se hace una clasificación de los entes fundamentales de la Aritmética. Éste es un tema de gran importancia por tres razones:
(1) sobre dichos entes se definen todas las operaciones del Álgebra;
(2) las distintas ramas del Cálculo hacen uso de variables y funciones, es decir, de entes que —en lo operacional— caen en alguna de las categorías aquí definidas; y
(3) las Geometrías (Analítica y Diferencial) son formas que adoptan el Álgebra y el Cálculo cuando los entes involucrados tienen una dimensión suficientemente pequeña como para permitir la construcción de representaciones gráficas.

La cuestión se trata también en un artículo paralelo a éste: Escalares, vectores y tensores. Allí se hace una clasificación de las magnitudes físicas.

[*] Apostol, T. M. Calculus, 2da. edición, volumen II, caps. 2 y 8, 1967, Barcelona: Reverté (traducción de Francisco Vélez Cantarell y Enrique Linés Escardó)

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