Volumen de la pirámide

Pirámides y prismas

En un prisma se distinguen dos clases de caras: por un lado, la base y la tapa; por otro, las caras laterales. La base y la tapa son caras paralelas poligonales que pueden tener cualquier cantidad de lados. Las caras laterales son siempre paralelogramos (si el prisma es recto —es decir, si la medida de las aristas laterales coincide con la altura—, rectángulos). Cuando la perpendicular a la base en un punto no tiene como intersección con la tapa a un punto homólogo, el prisma se llama oblicuo. Si las caras son todas iguales —si la base y la tapa son polígonos regulares— el prisma se llama regular.

prisma pentagonal irregular oblicuo	prisma pentagonal irregular recto	prisma hexagonal regular recto

Dado que un polígono no puede tener menos de tres lados, un prisma no puede tener menos de tres caras laterales. El prisma que hace más fácil el estudio de las pirámides es el de base triangular.

prisma triangular irregular oblicuo

Un prisma de base triangular puede ser dividido en tres pirámides. Esto es lo que se muestra en el conjunto de figuras siguientes, donde la separación de las partes se hace en dos etapas.

prisma dividido en tres partes	separación de las partes en dos etapas

Lo interesante de esto es que las tres partes tienen el mismo tamaño. El primero que hizo esta observación fue Demócrito de Abdera, quien además de filósofo y físico era un gran geómetra.

las tres pirámides tienen el mismo volumen

A continuación se presenta en detalle la demostración, haciendo uso de esquemas apropiados para dar nombre a los vértices.

Volumen de la pirámide

Las figuras siguientes, tomadas del texto clásico de las profesoras Repetto, Linskens y Fesquet, muestran los planos que se usaron para cortar el prisma en tres partes (ANC y MNC) y las tres partes separadas (N ABC, C MNP y N ACM) [*].

prisma pentagonal irregular oblicuo	prisma hexagonal regular recto

La división realizada se puede expresar así:

prisma ABCPMN  =  pirámide N ABC + pirámide C MNP + pirámide N ACM.

Las pirámides N ABC y C MNP tienen bases de igual medida (la de la base del prisma) y la misma altura (la del prisma). Por lo tanto,

pirámide N ABC  =  pirámide C MNP.

Las pirámides C MNP (o N MCP) y N ACM tienen la misma altura (la distancia del punto N al plano MACP) y bases equivalentes (triángulos MAC y MCP, determinados en el paralelogramo MACP por la diagonal MC). Por lo tanto,

pirámide C MNP  =  pirámide N ACM.

En resumen,

pirámide N ABC  =  pirámide C MNP  =  pirámide N ACM.

Todo prisma triangular es equivalente a la suma de tres pirámides triangulares, cada una de ellas equivalente a las pirámides que tienen base y altura igual a la del prisma. (RLF)

En consecuencia [*]:

volumen de la pirámide (triángulo ABC, h)  =  1/3 volumen del prisma (triángulo ABC, h).

Esta fórmula es muy importante porque todo prisma puede ser reducido a un conjunto de prismas triangulares.

prisma pentagonal irregular oblicuo descompuesto en cinco prismas triangulares irregulares oblicuos

Para cada prisma triangular se cumple la ecuación anterior. Por lo tanto, para el conjunto, se puede escribir lo siguiente:

volumen del prisma poligonal  =  suma de los volúmenes de los prismas triangulares de altura h;

volumen del prisma triangular de altura h  =  3 volumen de la pirámide triangular de altura h;

volumen del prisma poligonal  =  3 suma de los volúmenes de las pirámides triangulares de altura h;

volumen del prisma poligonal  =  3 área del polígono de la base x h.

De aquí se deduce que la fórmula:

vale para las pirámides de cualquier base.

REFERENCIA

• Repetto, C. H., M. E. Linskens e H. B. Fesquet 1941 Geometría del Espacio para Cuarto Año del Bachillerato y Quinto Año del Magisterio
  Buenos Aires: Kapelusz

[*] Para las pirámides se hace uso de la notación C V₁V₂V₃, donde C es la cúspide y V_i los vértices de la base. Una notación alternativa es: pirámide (V₁V₂V₃, h), donde h (en francés, hauteur) es la altura.

N. del E.: El título del trabajo está justificado —como las expresiones "volumen del cono" y "volumen de la esfera"— porque la única fórmula que aquí se deduce es la del volumen de la pirámide de base triangular. La expresión general, válida para pirámides de cualquier base, se deduce de ella.