Academia de Ciencias Luventicus
Explorando el uso de los applets de Fu-Kwun Hwang
Las leyes de Kepler
Grupo de Astronomía y Cosmología
Academia de Ciencias Luventicus
26 de abril de 2003

En la última parte del siglo XVI, el astrónomo danés Tycho Brahe registró cuidadosas observaciones de las posiciones los planetas. Tycho esperaba usar estos datos para demostrar la validez de su propio modelo del sistema solar, en el cual el Sol se movía alrededor de la Tierra y los otros planetas lo hacían alrededor del Sol. Cuando murió (en 1601), su asistente Johannes Kepler recibió en herencia los datos que había acumulado.

Kepler empleó unos 20 años para analizar estos datos, tratando de encontrar fórmulas matemáticas que reflejaran las relaciones existentes entre ellos. Y llegó a la conclusión de que la idea aceptada hasta entonces —según la cual los planetas se movían en órbitas circulares— debía ser descartada: las órbitas eran elípticas.

Kepler resumió los resultados de su laborioso estudio sobre el movimiento de los planetas en tres leyes:

Primera Ley
Los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de sus focos.

Definición de elipse
Conjunto de puntos del plano que cumplen la condición:
l1+ l2 = constante.

Segunda Ley
La línea que une al Sol con los planetas barre áreas iguales en tiempos iguales.

Las regiones coloreadas de anaranjado y verde (de igual área)
son barridas en tiempos iguales. En el mismo tiempo, en la región verde, 
el planeta debe recorrer un arco de elipse de mayor longitud.

Tercera Ley
El cuadrado del período del planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

El tiempo que el planeta tarda en realizar una órbita completa (período, T)
es proporcional a la medida del semieje mayor, R, elevada al exponente 3/2.

 

A continuación se describe el uso de un applet creado por el Profesor Fu-Kwun Hwang, del Departamento de Física de la Universidad Normal Nacional de Taiwan. El mismo permitirá al lector comprender mejor el sentido físico de estas leyes.
 

"Kepler", uno de los applets de Fu-Kwun Hwang,
del Departamento de Física de la Universidad Normal Nacional de Taiwan (Taipei, Taiwan)


 
• El círculo del centro (rojo) representa al Sol; el círculo móvil (anaranjado) representa a un planeta.
• El planeta inicia el movimiento desde el punto marcado por la flecha azul y su velocidad inicial es proporcional a la longitud de esa flecha azul.
• Se puede situar el puntero del ratón sobre la flecha azul, presionar el botón izquierdo y arrastrarlo para variar las condiciones iniciales. La forma con que el applet responde al cambio es diferente según sea lo que se elija previamente en el cuadro de texto de la parte superior: que la energía cinética quede fija y lo demás cambie; que el momento angular quede fijo y lo demás cambie; o que cambien todas las variables, ajustándose automáticamente.
• Un clic del botón derecho del ratón suspende la animación, otro clic la reanuda. Un clic del botón izquierdo detiene la animación mientras se lo mantiene presionado.
• Presionando el botón "Borrar" se borra la pantalla.
• La animación se puede ejecutar en cuatro modos diferentes ("Primera Ley", "Segunda Ley", "Tercera Ley" o "energía").
• La primera ley se ilustra en la esquina superior izquierda, donde aparecen las distancias del planeta a los focos, que sumados dan siempre un valor constante.
• La segunda ley se ilustra pintando sucesivamente de color negro y blanco regiones de igual área.
• La tercera ley se ilustra en el cuadrante inferior izquierdo, donde se representa la función T 2(R 3). Los puntos de esta función se obtienen cambiando el tamaño de la órbita.
• En la presentación en modo "energía" o mientras se arrastra la flecha azul, se ven: una curva inferior que corresponde a la energía potencial U(r) = – G M m / r; otra curva que muestra la energía potencial efectiva Uef(r) = – G M m / r + L2 / (2 m r2); y dos líneas horizontales (rojas), que representan la energía total de la partícula.
• El período de la partícula en movimiento se indica en segundos reales (compruébelo con su reloj).

Notación
li   longitudes de los segmentos de recta que unen al planeta con el Sol
T   período (tiempo que tarda el planeta en recorrer la órbita completa)
R   semieje mayor de la órbita elíptica
U   energía potencial
G   constante universal de la gravitación
M   masa del Sol
m   masa del planeta
r   distancia del planeta al Sol
Uef   energía potencial efectiva
L = r m v   momento angular (momento de la cantidad de movimiento)
v   velocidad tangencial del planeta

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