Los sólidos platónicos

En Geometría, los sólidos de caras planas reciben el nombre de "poliedros". (En griego, polys = "múltiples" y hedra = "cara".) Los poliedros cuyas caras son polígonos regulares [1] iguales se llaman poliedros regulares. Los poliedros regulares son cinco. En el cuadro siguiente se presentan sus nombres y características.

Para hacer rotar los modelos a distintas velocidades y en distintas direcciones se debe mover el cursor sobre ellos manteniendo presionado el botón izquierdo del ratón.

En las fórmulas, a = arista.
Nota: De aquí en más, la palabra "regular" se dará por sobreentendida y al hexaedro regular se lo llamará "cubo".

Para mostrar por qué son cinco —y no más— se suele razonar del modo siguiente:
(1) Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.)
(2) La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.
(3) Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aun mayores.

Los pitagóricos —que veían en los resultados matemáticos algo parecido a una verdad religiosa— consideraban muy importante la observación de que había sólo cinco poliedros regulares posibles. Muchos creen que fueron ellos quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman "sólidos pitagóricos" a los poliedros regulares. (Lo más probable es que la demostración de esta afirmación se deba a los miembros de esa escuela.) Sin embargo, los arqueólogos han hallado imágenes en piedra de los poliedros regulares considerablemente más antiguas.

tierra, fuego, Universo, agua y aire.
Imágenes recogidas en un yacimiento neolítico de Escocia

Por otra parte, en excavaciones realizadas cerca de Pádova (Italia), se halló un dodecaedro etrusco que probablemente era usado como juguete.

Dodecaedro etrusco (¿500 a.C.?)

Se cree que fue Empédocles quien priemero asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro con la tierra, el fuego, el agua y el aire, respectivamente. Estas sustancias eran los cuatro "elementos" de los griegos antiguos. [2] Luego Platón asoció el dodecaedro con el Universo pensando que, dado que era tan distinto de los restantes (¿por sus caras pentagonales?) debía tener relación con la sustancia de la cual estaban hechos los planetas y las estrellas. (Por entonces se creía que los cuerpos celestes debían estar hechos de un elemento distinto del que estaban hechas las cosas que rodean al hombre en la Tierra.) De aquí que a los poliedros regulares se los conozca también como sólidos platónicos.

En el siglo XVI, los poliedros regulares inspiraron al joven Kepler una teoría sobre el movimiento

de los planetas. Él creía que los radios de las órbitas (circulares) de los planetas estaban en proporción con los radios de las esferas inscriptas en sólidos platónicos dispuestos uno dentro de otro. El grabado de la derecha ha sido tomado de su tratado Mysterium Cosmographicum (“El Misterio del Cosmos”). (Kepler concluyó que ese modelo era erróneo y que los planetas se movían describiendo trayectorias elípticas recién cuando conoció los resultados de las observaciones de Tycho Brahe.)

En el cuadro siguiente aparecen reproduccciones de otros grabados de la misma obra de Kepler en donde se observa cómo sobrevivía en esta época tan tardía la asociación entre elementos y poliedros establecida por Empédocles y Platón.

El descubrimiento de Kepler de las leyes del movimiento de los planetas es uno de los primeros resultados de la aplicación del método científico tal como lo entendemos hoy.

El arte de colocar un poliedro dentro de otro para obtener sucesiones de números (los radios de las esferas inscriptas) —siguiendo el procedimiento del joven Kepler para descubrir la supuesta ley que determina el radio de las órbitas de los planetas— ha sido ilustrado por Gian Marco Todesco (Digital Video s.r.l., Roma, Italia) en el bello applet que se presenta a continuación.

El applet de Java 1.1 AWT Polyhedra v1.0 de Gian Marco Todesco
Reproducido con el permiso del autor
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Instrucciones para el uso
• Haga clic en los botones de la izquierda para agregar poliedros. El nuevo poliedro se agrega dentro del que se encuentra más adentro. Cuando no es posible incluir un poliedro dentro del que se encuentra más adentro, el botón correspondiente se mostrará deshabilitado.
• Para quitar el poliedro exterior o el interior, use los botones ubicados en la parte inferior.
• Manteniendo presionado el botón izquierdo del ratón, mueva el cursor en la región central para hacer rotar el modelo. Libere el botón para observar la rotación continua del modelo.
• Presione la tecla "v" para cambiar la proyección en perspectiva por la proyección paralela.

Con esta herramienta se puede hacer el ejercicio de calcular la arista de un poliedro inscripto en otro siguiendo un orden establecido o proponer una serie de poliedros inscriptos para calcular luego la sucesión de números correspondientes a los volúmenes, superficies, etc., haciendo uso de las fórmulas presentadas más arriba.

En cambio, el procedimiento del joven Kepler consistiría en lo siguiente:
(1) proponer un poliedro exterior y dar una medida a su arista;
(2) calcular el radio de la esfera inscripta;
(3) proponer un poliedro interior, explicitar la arista en la fórmula de la esfera circunscripta y calcularla;
(4) repetir los pasos (2) y (3) tantas veces como se desee; y
(5) confeccionar una lista de los radios obtenidos.

Los sólidos platónicos, por su historia, perfección, y belleza, continúan siendo hoy inspiradores de matemáticos y artistas. El holandés Maurits Cornelis Escher es uno de los artistas clásicos de nuestro tiempo que han experimentado la fascinación por estas figuras. A continuación se reproduce su grabado Estrellas (1948) y una fotografía que lo muestra observando una de sus obras: un conjunto de sólidos platónicos superpuestos.


Estrellas, 1948 ©2002 Cordon Art B.V, Baarn, Nederland. Los derechos de autor de todos los trabajos de M.C. Escher pertenecen a Cordon Art (Holanda). Reproducido con permiso. Visite el sitio de Cordon Art en la Red: www.mcescher.com.		Escher y su representación de los sólidos platónicos

Se dice que cierta vez, cuando tuvo que mudarse de oficina, Escher dejó muchas de sus pertenencias, excepto ésta.

[1] Figuras planas de lados y ángulos iguales.
[2] En una serie de la Galería de Arte se dan otros argumentos para la asociación de los poliedros regulares con los "elementos".

NN. del E.
• El punto central de este artículo es la idea de Johannes Kepler de inscribir superficies poliédricas. Las fórmulas dadas al principio, el orden en que han sido dispuestos los poliedros en las figuras, el applet de G. M. Todesco, y las referencias a Escher elegidas, son prueba de ello.
• El grabado Estrellas de M. C. Escher fue realizado en 1948 y concebido probablemente en los años finales de la Segunda Guerra Europea. Se trata de un trabajo de gran belleza —como todos los de este artista extraordinario— que muestra en el fondo un cielo de figuras regulares (sólidos perfectos, platónicos) y en primer plano un cuerpo celeste (¿planeta Tierra?) donde unos demonios de aspecto primitivo (¿hombres cercanos a sus ancestros reptilianos?) están encerrados en (¿contenidos por?) una estructura formada por octaedros combinados de tal manera que la Estrella de David aparece repetida varias veces. Es una lástima que el uso de esos símbolos dé lugar a una interpretación que le resta universalidad a la obra.