Gráficos de funciones reales de una variable real
Academia de Ciencias Luventicus
Resumen
En este trabajo se describe el uso de un applet de Java que permite ver el gráfico de cualquier función real de una variable real.
Marco teórico
Se ha dicho que en la historia de las Matemáticas el Cálculo introdujo un elemento nuevo: el estudio de los aspectos dinámicos de los problemas. Y dado que lo anterior al Cálculo (también llamado "Análisis Matemático") es el Álgebra, esa afirmación parece ser correcta.
Cuando Jorge Luis Borges llamó al Álgebra: "palacio de pulidos cristales", en pocas palabras dio una definición perfecta de ese arte, que tiene la importancia de un gran edificio; es el resultado de un trabajo de generaciones; y consiste en la observación y comparación de formas estáticas, congeladas. En efecto, la rama de la Matemática que deriva su nombre de la expresión árabe al-abr, "el arte de pasar términos", tiene por objeto la resolución de ecuaciones. Las operaciones son el instrumento para transformar las expresiones matemáticas en otras equivalentes. Por eso, la observación de las formas es de la mayor importancia en esta disciplina. El Álgebra es el arte de descubrir patrones —formas a las que puedan aplicarse determinadas reglas— y de representar expresiones diversas con un mismo símbolo, x.
El Cálculo, en cambio, estudia los problemas en los cuales x puede adoptar distintos valores. Así se introduce la noción de variable: x es la variable independiente y cualquier magnitud que cambia cuando x cambia se llama variable dependiente (su valor está en función del valor de x). El conjunto de los pares ordenados (x,f(x)) se llama, en general, relación, y, cuando a cada valor x le corresponde un único valor f(x), función.
Las operaciones que estudia el Análisis son distintas de las que estudia el Álgebra. Estas operaciones involucran funciones y dan por resultado funciones. Las más importantes se llaman derivación e integración. Así, existen funciones "derivadas" de otras y funciones "integrales". El Cálculo alcanzó su punto más alto con Leibnitz y Newton, quienes descubrieron cuál era la relación que existía entre las dos operaciones mencionadas: una es la inversa de la otra. Por eso a las funciones integrales se las llama también "primitivas".
En este trabajo se presentan las funciones reales de una variable real, es decir, las relaciones que asignan a cada número real x de un conjunto un único número real f(x). Muchas veces la variable independiente es el tiempo y se representa con el símbolo t. (En este sentido se dice que el Cálculo «estudia los aspectos dinámicos de los problemas» o «resuelve problemas donde los sistemas deben ser vistos como una película, no como una fotografía». Los primeros problemas estudiados eran problemas de la Física o, más precisamente, de la Astronomía.) Sin embargo, la del Cálculo es una aproximación puramente formal: x puede ser el tiempo y f el espacio recorrido (problema de movimiento); x puede ser la temperatura y f la densidad de una sustancia a una presión dada (problema de variación de propiedades físicas); x puede ser el tiempo y f la concentración de cierto componente de una mezcla reactiva (problema de Cinética Química); etc. Más aún, haciendo la identificación cartesiana de los números reales con los puntos geométricos, x podría ser la abscisa de un punto de la base (horizontal) de una figura geométrica de dos dimensiones y f la ordenada (altura) correspondiente. La Geometría Analítica —disciplina fundada por Descartes—, que combina la Geometría y el Álgebra también es inseparable del Cálculo.
Por ser un conjunto de pares ordenados, una función puede ser representada por:
(1) Una fórmula. Por ejemplo, 3 x2 + 1. Para cada x, primer elemento del par, el segundo elemento, f(x), se obtiene reemplazando ese valor de x en la fórmula.
(2) Una tabla como la siguiente:
| x | f(x) |
| -1 | 4 |
| 0 | 1 |
| 1/2 | 7/4 |
| 1 | 4 |
| 2 | 13 |
(3) Un esquema con diagramas de Venn:
(4) Un gráfico cartesiano:
En lo que sigue, la atención estará puesta en la última forma de presentar las funciones.
"SimpleGraph"
De las muchas herramientas con que contamos para graficar funciones (calculadoras programables con capacidad para mostrar gráficos; programas para computadoras personales; etc.), aquí se describe el uso en línea de "SimpleGraph", uno de los Java Components for Mathematics de David Eck.
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función |
escritura |
escritura |
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valor absoluto |
abs(x) |
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parte entera |
pent(x) |
trunc(x) |
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entero inferior |
inf(x) |
floor(x) |
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entero superior |
sup(x) |
ceiling(x) |
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entero más próximo |
próx(x) |
round(x) |
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potencial (exponente n) |
x^n |
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raíz cuadrada |
x^(1/2) |
sqrt(x) |
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raíz cúbica |
x^(1/3) |
cubert(x) |
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raíz enésima |
x^(1/n) |
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exponencial (base e) |
exp(x) |
e(x) |
|
exponencial de base b |
b^x |
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logaritmo natural |
ln(x) |
loge(x) |
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logaritmo decimal |
log(x) |
log10(x) |
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seno |
sen(x) |
sin(x) |
|
coseno |
cos(x) |
|
|
tangente |
tg(x) |
tan(x) |
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secante |
sec(x) |
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cosecante |
cosec(x) |
csc(x) |
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arco-seno |
arcsen(x) |
arcsin(x) |
|
arco-coseno |
arccos(x) |
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arco-tangente |
arctg(x) |
arctan(x) |
|
seno hiperbólico |
senh(x) |
sinh(x) |
|
coseno hiperbólico |
cosh(x) |
|
|
tangente hiperbólica |
tgh(x) |
tanh(x) |
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operación |
escritura |
|
adición |
+ |
|
sustracción |
- |
|
multiplicación |
* |
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división |
/ |
|
potenciación |
^n |
|
radicación |
^(1/n) |
|
exponenciación (base e) |
e^ |
|
exponenciación (base b) |
b^ |
|
logaritmación (base e) |
ln |
|
logartimación (base 10) |
log |
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constante |
escritura |
|
e = 2,7182818… |
e |
|
|
pi |
= 3,14159…Para hacer uso del applet, tómense en cuenta las siguientes indicaciones:
| • | Mostrar ejemplo: elegir el ejemplo en la lista desplegable ubicada en la parte superior y presionar el botón que se halla a la izquierda. |
| • | Establecer intervalos: escribir los intervalos para x (xmín, xmáx) e y (ymín, ymáx) en los casilleros correspondientes y presionar el botón. |
| • | Restablecer intervalos: presionar este botón para establecer los intervalos para x e y en [-5,5]. (Una manera alternativa de proceder consiste en señalar el rectángulo que se desea acercar llevando el cursor a un punto del gráfico y moviéndolo luego manteniendo el botón izquierdo del ratón presionado.) |
| • | Función nueva: escribir la expresión de la función que se desea graficar en el casillero ubicado a la derecha de "f(x) =" y presionar el botón función nueva. |
| • | Valor de la función en un punto: ingresar el valor de la variable independiente en el casillero ubicado a la derecha de "x =". Al lado de "y =" aparecerá el valor correspondiente de la variable dependiente. (Alternativamente se puede mover el botón deslizante.) |
| • | Tecla "Intro" (Enter): todas las variables se actualizan. (Si se quiere actualizar sólo alguna —los intervalos, por ejemplo—, presionar el botón correspondiente.) |
Ejercicio
Hacer uso del applet para obtener las gráficas de las siguientes funciones en la región que en cada caso se indica:
| f(x) | f(x) | xmín | xmáx | ymín | ymáx |
| [3x2+1] | pent(3x^2+1) | -2 | 2 | -1 | 12 |
| |senx| | abs(sen(x)) | -6*pi | 6*pi | -1 | 2 |
| |x senx|-4 | abs(x*sen(x))-4 | -15 | 15 | -6 | 12 |
| e-x cosx | e(-x)*cos(x) | -2 | 3 | -2 | 3 |
| ex sen10x | e(x)*sen(10*x) | 0 | 1.5*pi | -100 | 100 |
| |tghx| | abs(tgh(x)) | -3 | 3 | -0.5 | 3 |
| (|x|x)x | (abs(x)^x)^x | -3 | 3 | -2 | 9 |
|x| |
abs(x)^(x^x) | -3 | 3 | -2 | 9 |
(Los extremos de los intervalos del eje de las abscisas y del eje de las ordenadas que abarca el gráfico pueden incluir operaciones.)
N. del E.: Los gráficos de funciones de dos variables son tratados en otro artículo que también contiene un elemento interactivo.
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