Gráficos de funciones reales de dos variables reales
Academia de Ciencias Luventicus
Resumen
En este trabajo se describe el uso de un applet de Java que permite ver el gráfico de cualquier función real de dos variables reales.
Marco teórico
Todo lo dicho a propósito de las funciones de una variable en un artículo anterior puede ser extendido al caso de las funciones de dos variables reales.
Una función de dos variables reales es un par ordenado cuyo primer elemento es un par ordenado: ((x, y), f(x, y)). Formalmente, esta expresión equivale a una terna ordenada: (x, y, z). (La expresión "grupo ordenado" ha sido definida en otro artículo.)
Una función de dos variables puede ser representada por:
(1) Una fórmula, por ejemplo: 3 x2 + y. A cada par (x, y) corresponde un valor f(x, y) que se obtiene reemplazando los valores de x e y esa fórmula.
(2) Una tabla como la siguiente:
| x | y | f(x, y) |
| -1 | -1 | 2 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1/2 | 1/4 | 2 |
| 1 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 13 |
(3) Un esquema con diagramas de Venn:
(4) Un gráfico cartesiano:
En lo que sigue, la atención estará puesta en la última forma de presentar las funciones.
"xFunctions"
A continuación se describe el uso en línea de "xFunctions", un applet de Java de David Eck. Este applet permite obtener gráficos diversos, de los cuales en este artículo sólo se describen los que representan funciones de dos variables. Para ello, se deben seguir las siguientes indicaciones:
| • | En la lista desplegable ubicada en la parte superior elegir la utilidad para gráficos de tres dimensiones ("3D Graph Utility"). |
| • | Establecer los intervalos de las variables x (xmin, xmax), y (ymin, ymax) y z (zmin, zmax) en los casilleros correspondientes. |
| • | Introducir en el casillero "Grid Size" el tamaño de la grilla, es decir, la cantidad de casillas en el plano XY. |
| • | Introducir la función de dos variables en el casillero "Enter a function of x and y". Las tablas siguientes indican cómo se deben escribir las funciones y operaciones. |
|
función |
escritura |
escritura |
|
valor absoluto |
abs(x) |
|
|
parte entera |
pent(x) |
trunc(x) |
|
entero inferior |
inf(x) |
floor(x) |
|
entero superior |
sup(x) |
ceiling(x) |
|
entero más próximo |
próx(x) |
round(x) |
|
potencial (exponente n) |
x^n |
|
|
raíz cuadrada |
x^(1/2) |
sqrt(x) |
|
raíz cúbica |
x^(1/3) |
cubert(x) |
|
raíz enésima |
x^(1/n) |
|
|
exponencial (base e) |
exp(x) |
e(x) |
|
exponencial de base b |
b^x |
|
|
logaritmo natural |
ln(x) |
loge(x) |
|
logaritmo decimal |
log(x) |
log10(x) |
|
seno |
sen(x) |
sin(x) |
|
coseno |
cos(x) |
|
|
tangente |
tg(x) |
tan(x) |
|
secante |
sec(x) |
|
|
cosecante |
cosec(x) |
csc(x) |
|
arco-seno |
arcsen(x) |
arcsin(x) |
|
arco-coseno |
arccos(x) |
|
|
arco-tangente |
arctg(x) |
arctan(x) |
|
seno hiperbólico |
senh(x) |
sinh(x) |
|
coseno hiperbólico |
cosh(x) |
|
|
tangente hiperbólica |
tgh(x) |
tanh(x) |
|
operación |
escritura |
|
adición |
+ |
|
sustracción |
- |
|
multiplicación |
* |
|
división |
/ |
|
potenciación |
^n |
|
radicación |
^(1/n) |
|
exponenciación (base e) |
e^ |
|
exponenciación (base b) |
b^ |
|
logaritmación (base e) |
ln |
|
logartimación (base 10) |
log |
| • | Elegir una de las opciones del extremo inferior derecho: líneas de una superficie transparente ("Wire Frame Model", WFM); no mostrar las líneas ocultas por la superficie ("No Hidden Lines", NHL); superficie sin líneas ("Shaded Model", SM) [*]; o superficie con líneas ("Shaded, with Wires, SwW). |
| • | Dar la orden de graficar ("Graph it!"). |
| • | Para acercar o alejar la imagen se debe presionar los botones "Zoom In" y "Zoom Out". |
| • | Para limpiar la pantalla se debe presionar el botón "Clear". |
|
Ejercicio
Hacer uso del applet para obtener las gráficas de las siguientes funciones en la región que en cada caso se indica:
| f(x, y) | f(x, y) | xmin | xmax | ymin | ymax | zmin | zmax | Grid Size | Option |
| 3x2+y | 3x^2+y | -1 | 1 | -1 | 1 | -4 | 4 | 20 | WFM |
| sen(x2+y) | sen(x^2+y) | -2 | 2 | -2 | 2 | -4 | 4 | 20 | NHL |
| sen(x) cos(y) | sen(x)*cos(y) | -6 | 6 | -6 | 6 | -4 | 4 | 64 | SM |
| senh(x+y) | senh(x+y) | -2 | 2 | -2 | 2 | -4 | 4 | 20 | WFM |
N. del E.: Los gráficos de funciones de una variable son tratados en otro artículo que también contiene un elemento interactivo.
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