Academia de Ciencias Luventicus
Operaciones con tres conjuntos
Dr. J. J. Luetich
25 de julio de 2003

En un diagrama de Venn, las posiciones relativas de tres conjuntos pueden ser muy variadas. A modo de ejemplo, doce de ellas se presentan en el siguiente cuadro. 

1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12

La última disposición es la más general porque abarca todos los casos posibles (da lugar a la mayor cantidad de colores):
• elementos que no pertenecen a ningún conjunto, excepto al universal (región gris); 
• elementos que pertenecen a un solo conjunto (regiones roja, amarilla y azul);
• elementos que pertenecen a dos conjuntos (regiones anaranjada, verde y violeta); y
• elementos que pertenecen a los tres conjuntos (región marrón).

Es decir, la disposición más general es la que define ocho regiones. En ninguna otra se llega a esta cantidad. [La disposición 5, por ejemplo, tiene siete. Si los elementos de tres conjuntos pueden ser ubicados en el diagrama 5, también podrán ser ubicados en el diagrama 12: una región (la anaranjada) quedará vacía.]

Obsérvese que la cantidad de regiones de cada clase se puede calcular aplicando la fórmula siguiente:

,

donde ntc es el número total de conjuntos y ncs es el número de conjuntos que se solapan (superponen) en las regiones en cuestión. Por ejemplo, en un diagrama de tres conjuntos ntc = 3, la cantidad de regiones donde no hay conjuntos (ncs = 0) es 3!/[0! (3-0)!] = 1 (gris); la cantidad de regiones donde hay un solo conjunto (ncs = 1) es 3!/[1! (3-1)!] = 3 (roja, amarilla y azul); la cantidad de regiones donde se solapan dos conjuntos (ncs = 2) es 3!/[2! (3-2)!] = 3 (anaranjada, verde y violeta); y la cantidad de regiones donde se solapan los tres conjuntos (ncs = 2) es 3!/(3-3)! = 1 (marrón). El número total de regiones (colores) se puede obtener entonces aplicando la siguiente fórmula:

.

En otros términos, la cantidad de regiones surge de la construcción conocida como "Triángulo de Tartaglia". Los números de cada fila se obtienen sumando los dos adyacentes de la columna anterior.

cantidad de
conjuntos
cantidad de regiones
Triángulo de Tartaglia
total de
regiones
0
1
2
3
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1
2
4
8

Este procedimiento está justificado por el hecho de que las regiones están ordenadas en una estructura jerárquica del tipo "árbol": si en una región un conjunto se solapa con otros dos, se solapa también con cada uno de ellos, y ellos se solapan entre sí. La pregunta: «¿Cuántas regiones hay donde se superponen ncs conjuntos?» es equivalente a la pregunta: «¿Cuántos jefes tiene un empleado que se encuentra en el nivel ncs-ésimo de una escala jerárquica como la siguiente?»

Cada jefe vale por el número de superiores que tiene.

La tabla siguiente muestra distintas formas de identificar las regiones.

1 gris (0,0,0)
2 rojo (1,0,0)
3 amarillo (0,1,0)
4 azul (0,0,1)
5 anaranjado (1,1,0)
6 verde (0,1,1)
7 violeta (1,0,1)
8 marrón (1,1,1)

La última columna contiene las ternas ordenadas correspondientes a cada una de las ocho regiones. Las tres componentes indican, respectivamente, si los elementos pertenecen (1) o no (0) a los conjuntos A, B y C.

El resultado de una operación con tres conjuntos es, gráficamente, una parte del diagrama que los representa (en el caso más general, el diagrama 12 de la primera tabla). Cualquier región compuesta se puede expresar en términos de las ocho regiones elementales de la tabla anterior. En el cuadro siguiente se muestran algunos ejemplos.

1


2



3


4





5





Sin embargo, como se observa en la notación alternativa (última columna), muchas veces es posible escribir expresiones más compactas. (Éste no es el caso de la operación 3.)

N. del A.: En estos últimos años hemos asistido en Argentina a un cambio drástico de los programas de estudio en las escuelas del nivel medio. Entre todas las cosas que la corriente se llevó está la Teoría de Conjuntos: la reducción de la carga horaria de Matemática ha llevado a los profesores a sacrificarla en beneficio de los importantes temas del Álgebra, la introducción al Análisis y la Estadística. Sin embargo, creo que no deberíamos perder de vista la importancia que los conjuntos tienen al estudiar los números reales, el Cálculo de Probabilidades y la Teoría de los Circuitos Digitales. A propósito de esta última, creo que la mejor manera de rescatar el tema sería incluirlo en la asignatura Tecnología de la Información. La experiencia me indica que operaciones con este nivel de dificultad pueden ser resueltas sin gran esfuerzo por alumnos de 16 o 17 años. 

N. del E.: El Grupo de Matemática Computacional ha confeccionado algunas evaluaciones en línea que pueden servir al lector de este artículo para hacer ejercicios.

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